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设为微分流形，为上一点。利用上的仿射联络，可以定义过点的测地线。
设为于点的切向量，则独有一条测地线满足，而初始切向量为。对应的指数映射由
定义。一般而言，指数映射不必在全个有定义，而衹有局部定义，即定义域是原点的小邻域，映到在流形上的某邻域内。原因是，测地线之所以存在（和唯一），藉赖常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但该定理是仅在局部成立。若指数映射在切丛处处有定义，则该线性联络称为完备。
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科特布斯是始建于10世纪，索布人在施普雷河上的沙岛上建立了一个城堡。这城镇的名称第一次被提及是在1156年。在13世纪德国人定居者来到这里，之后他们与索布人一起住在这里。在中世纪科特布斯以羊毛闻名，而城镇的布料被输出到勃兰登堡全境、波希米亚和萨克森。在1462年，勃兰登堡选帝侯（后来1618年成为普鲁士公国统治者）获得了科特布斯。在1815年上卢萨蒂亚及下卢萨蒂亚邻近地区由萨克森王国割让予统治勃兰登堡的普鲁士。
由1949年至1990年德国统一前科特布斯属于东德。
科特布斯绝大多数（82.3％）的居民不信仰宗教。 居民中11.9％信奉新教福音派，3.5％信奉罗马天主教，0.6％信奉东正教，1.1％信奉其他宗教。
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墓碑上重修年份也比庄马力攻打的时间还要早。六堆文化研究学会挖掘此墓后，发现有两块义冢名碑刻写立碑时间是乾隆乙未年，也就是乾隆四十年（1775年），因而推断忠勇公的起源应该是乾隆三十三年（1768年）发生的黄教事件。可是，墓碑又有乾隆皇帝亲封名号「褒忠」二字，也可能是乾隆五十四年（1789年）的林爽文事件。因此也有人推测，此墓所安葬的应该是黄教与林爽文事件合葬的六堆义勇。
为了祭祀忠勇公，东振新庄的客家庄民杨连起、杨振纪、杨德秀等六十人，购置一甲多田产作为祭祀公业，名叫「义冢会」，又因在清明时节祭祀，故又称为「清明会」，直到台湾日治时期昭和年间因推动皇民化运动，被迫解散。
清明时祭祀忠勇公祭典完毕后，众人要吃掺入一些细沙的粥。传说曾经有一次粥内未放细沙，或放细沙却不敢吃，瞬间大起风，惊吓与会民众，从此会餐时，粥内必放入大量细沙。在2010年恢复中断多年的忠勇公祭典时，基于卫生考量，已改用芝麻代替细沙。
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