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元鉴，字长文，河南郡洛阳县（今河南省洛阳市东）人，魏文成帝拓跋濬曾孙，北魏平北将军、侍中、尚书左仆射、安乐武康王元诠之子，北魏宗室、官员。
父亲元诠过世后，元鉴袭封安乐王爵位。正光五年（524年）元鉴当时担任秘书监，当年九月梁朝派遣军队进攻淮阳地区，元鉴领兵攻讨，隔年孝昌元年（525年）一月，徐州刺史元法僧割据彭城投降梁，梁将胡龙牙、成景俊、元略等人率军接应，元鉴又回师拦阻梁军，先在彭城南方击败元略部队，但之后被元法僧击败退兵。还朝后任命为青州刺史。
孝昌元年（525年）三月，齐州地区发生动乱，清河郡和广川郡的民众或杀、或执太守分别起事，元鉴领兵讨平。后改任相州刺史、北讨大都督、北道行台，预备讨伐正在围攻信都的葛荣，元鉴为人凡庸，当时见到天下动乱便心怀不轨，在孝昌三年（527年）七月占据邺城反叛，投降葛荣。源子雍和李神轨、裴衍等将领领兵攻打邺城，八月丁未（527年9月27日）将元鉴斩首。魏孝明帝元诩诏令将元鉴姓氏从元氏改为拓跋氏。建义元年四月甲辰（528年5月21日），魏孝庄帝元子攸恢复元鉴的爵位安乐王，特许元鉴回复宗族的身分，追赠使持节、侍中、司空公，葬于邺西漳南负墎廿五里罗山。
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伴随向量映射原理（covector mapping principle）是泛函分析的基础定理里斯表示定理中的一个特例。名称是由Ross和其工作伙伴所命名。伴随向量映射原理提供了运算型最优控制中，可以将离散化和对偶性（dualization）交换顺序的条件。
假设要将庞特里亚金最大化原理应用在问题，会从给定的最佳控制问题产生一个边值问题。依照Ross的论点，此边值问题是庞特里亚金提升（Pontryagin lift），表示为问题。
现在要离散化问题，这会产生问题，其中 表示离散化的点数。为了方便起见，有需要证明下式成立：
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埃克斯河（River Exe；s ') 发源于英格兰萨默塞特郡埃克斯穆尔国家公园中的Simonsbath村庄附近，北距布里斯托尔湾海岸 8.4 千米（5 英里）但几乎直接向南流淌，主要流经德文郡。它流过 96 千米（60 英里）后在德文郡南海岸一个大溺湾处入海，即Exe Estuary。历史上的Lowest bridging point在埃克塞特，而今被在城中心以南3千米为M5 Motorway架设的高架桥所取代。
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