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至正十八年五月五日（1358年6月11日），元帝国汴梁守将竹贞弃城逃走，红巾军将领刘福通攻克汴梁，把汴梁定为红巾军宋政权都城；至正十九年八月十八日（1359年9月10日），察罕帖木儿攻破红巾军宋政权都城汴梁；刘福通和韩林儿等人率数百骑兵逃往安丰。察罕帖木儿攻克汴梁后，军纪严明，城中居民生活不受影响，不久河南全境平定。因为军功朝廷拜为河南行省平章政事，兼知河南行枢密院事、陕西行台御史中丞，仍便宜行事。

1361年察罕帖木儿攻打山东红巾起义军，占领济南，包围益都；至正二十二年六月十五日（1362年7月6日）红巾军降将田丰邀察罕帖木儿来营帐阅兵，后者不疑仅简从前往，遂被另一名红巾军降将王士诚刺杀。五个月后察罕帖木儿的养子扩廓帖木儿俘虏杀死田、王二人。

察罕帖木儿在北方和红巾军作战期间势力强大。至正二十一年八月初一（1361年8月31日），占据应天的朱元璋遣使者至汴梁，主动要求与之通好，察罕帖木儿遂派使者前往招降，但朱元璋扣下使者，拒不回应。1362年7月6日，察罕帖木儿被降将田丰、王士诚刺杀，朱元璋立即将使者杀死。

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纯粹数学以其严格、抽象和美丽著称，以数论，数理逻辑为其代表。自18世纪以来，纯粹数学成为数学研究的一个特定种类，并随着探险、天文学、物理学、工程学等的发展而发展。

“纯粹数学”这个词是从Sadleirian Chair这个19世纪中期建立的教授职位的全名而来的。“纯粹”数学作为一门独立的学科的想法可能就是从那个时候发展起来的。高斯一代的数学家没有彻底地区分过“纯粹”和“应用”。之后，专门化和专业化，特别是魏尔施特拉斯研究数学分析的方法，使得两者的区别越来越大。

进入20世纪，数学家们受到希尔伯特的影响，开始使用公理系统。罗素提出了“纯粹数学”的逻辑公式化方法，以量化的命题为形式。随着数学的公理化，这些公式变得越来越抽象，“严格证明”成为了简单的标准。

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土库曼文化，传统文化是游牧文化。土库曼人认为农民地位比牧民低，只有穷得做不到牧民的人务农。在苏联时期曾尝试定居化与农业集体化，但不成功。他们社会最大特色是有无数互相攻打的小部落。

他们最著名的产品是地毡，地毡上的花纹可区别氏族。土库曼人是穆斯林，多数是逊尼派也有什叶派，也有信仰萨满教。但是教长势力不及长老与酋长。

土库曼人与其他民族的区别在于他们戴很大的卡拉库尔帽，他们男性穿恤衫、长裤、长靴，女性穿长裙戴银饰。他们语言是突厥语乌古斯语支，也说俄语。

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