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指定一个无理数 ，这里存在着一个数 使得贝亚蒂序列 和 引出的同名集合将正整数集合划分：即所有的正整数属于且仅属于两个集合中的一个。
给定 ，使得 ，必须要证明任意一个正整数属于且仅属于序列对应的集合 或者 中的一个。
为了证明它，可以构建两个不同的没有交集的集合并排成一个有序序列（可以通过有序序列的有序性，使得下标和值一一对应），通过构造值和对应下标的一一对应的关系，证明任意一个正整数对应的值属于且仅属于两个集合中的一个，而对应两个集合的下标集合正是 和 。
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张达京是阿穆的女婿。18世纪初，岸里社人遭遇瘟疫，社人因张达京以草药为其治病而相继与之结亲，张达京的其中一个妻子就是阿穆的女儿，故张达京又有别称“番驸马”。张达京于雍正三年（1725年）因熟知台湾原住民情况、通晓台湾原住民语言与有招抚台湾原住民之功而受封为首任岸里社通事。
潘敦仔是阿穆的孙子。潘敦仔生于康熙四十四年（1705年），是岸里九社第三任总土官，在雍正十年（1732年）因协助清政府平定大甲西社抗清事件而奉诏入京陛见，获清世宗赏赐御衣，并赐号「大由仁」，后于乾隆二十三年（1758年）获委任为岸里社首任非汉人通事，卒于乾隆三十六年（1771年）。
潘士兴是潘敦仔的次子，故为阿穆的曾孙。潘士兴在乾隆五十一年（1786年）以“番义首贡生”的身份与时任总通事潘明慈带领岸里社1195名“壮番”随清军平定林爽文之乱。
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