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Horn函数（以德国数学家Jakob Horn命名）是34个不同但都收敛的二阶（双变量）的超几何级数，由Horn在1931年逐一给出（由Ludwig Borngässer于1933年修正）。34个超几何级数被进一步分为14个完全的和20个合流的级数，此处“合流”的含义与它在单变量的合流超几何函数中的含义相同：级数对于任何有限变量都收敛；而“完全”的级数仅对于于单位圆盘内的部分变量收敛。前四个完全的Horn函数即是对应的阿佩尔超几何函数。全部14个完全的Horn函数，以及它们单位圆盘内的收敛半径如下：

注意部分完全级数和合流级数的记号相同。全部Horn函数都是Kampé de Fériet函数的特例。

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杭州八都原是唐末混乱时，为了抵抗王郢之乱及盗贼，所形成的杭州地方武装力量的民团军，以石镜都镇将董昌为总指挥，这点可从《旧五代史》及《资治通鉴》知道：「属天下丧乱，黄巢寇岭表，江、淮之盗贼群聚，大者攻州郡，小者剽闾里，董昌聚众，恣横于杭、越之间，杭州八县，每县召募千人为一都，时谓之杭州八都」「王郢之乱，临安人董昌以土团讨贼有功，补石镜镇将。是岁，曹师雄寇二浙，杭州募诸县乡兵各千人以讨之，昌与钱塘刘孟安、阮结、富阳闻人宇、盐官徐及、新城杜棱、余杭凌文举、临平曹信各为之都将，号杭州八都，昌为之长。」

杭州八都的组成，最简单的说法是由杭州的八个县，以一县一都的方式组成。据史料记载，唐天宝元年（742）治余杭郡，属江南东道,治钱塘，辖钱塘、盐官、富阳、新城、余杭、临安、于潜、唐山县八县。乾元元年（758）又改为杭州，归浙江西道节度。董昌的临安县「石镜都」，曹圭（黄巢之乱时由陈晟接替）的余杭县「临平都」，吴文举的於潜县「於潜都」，徐及的盐官县「盐官都」，杜陵的新城县「武安都」，饶京（阮结）的唐山县「唐山都」、闻人宇（文禹，黄巢之乱时由成及接替的富阳县「富春都」和刘孟安钱塘县「龙泉都」）。《资治通鉴》、《吴越备史》、《新唐书》三者对杭州八都组成的叙述有些许不同，今经考证以上述所列为准。

干符六年（879年），时为董昌属下的钱镠率石镜镇兵抵抗黄巢之军，保全杭州。九月，八都将总指挥董昌趁新任杭州刺史路审中赴任之机，夺取杭州，自称杭州都押牙、知州事，并遣将吏请命于镇海军节度使周宝。周宝自认为力不能制董昌，遂表其为杭州刺史。成为杭州刺史后，董昌任命钱镠为都指挥使，将杭州八都兵的指挥权交予钱镠，是钱镠获得独立地盘之始。

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永乐五年（1407年），跟随郑和第二次下西洋。

永乐七年（1409年），跟随郑和第三次下西洋。

永乐十一年（1413年），出使尼泊尔，迎请格鲁派活佛释迦也失。

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